İkiz asal sayılarla ilgili bir çalışma
z, t bir ikiz asal ,
m ve n ardışık iki sayı ,
a ve b ardışık iki tek sayı olmak üzere
Her ikiz asalın
z = ( m x a ) + ( n x b )
t = ( m x b ) + ( n x a )
Şeklinde en az bir tanımlaması vardır .
Örnek - 1 :
z = ?
t = ?
m = 1
n = 2
a = 1
b = 3
z = ( m x a ) + ( n x b ) = ( 1 x 1 ) + ( 2 x 3 ) = 1 + 6 = 7
t = ( m x b ) + ( n x a ) = ( 1 x 3 ) + ( 2 x 1 ) = 3 + 2 = 5
z = 7
t = 5
Örnek - 2 :
z = ?
t = ?
m = 1
n = 2
a = 5
b = 7
z = ( m x a ) + ( n x b ) = ( 1 x 5 ) + ( 2 x 7 ) = 5 + 14 = 19
t = ( m x b ) + ( n x a ) = ( 1 x 7 ) + ( 2 x 5 ) = 7 + 10 = 17
z = 19
t = 17
Örnek - 3 :
z = ?
t = ?
m = 3
n = 4
a = 5
b = 7
z = ( m x a ) + ( n x b ) = ( 3 x 5 ) + ( 4 x 7 ) = 15 + 28 = 43
t = ( m x b ) + ( n x a ) = ( 3 x 7 ) + ( 4 x 5 ) = 21 + 20 = 41
z = 43
t = 41
Örnek - 4 :
z = ?
t = ?
m = 11
n = 12
a = 5
b = 7
z = ( m x a ) + ( n x b ) = ( 11 x 5 ) + ( 12 x 7 ) = 55 + 84 = 139
t = ( m x b ) + ( n x a ) = ( 11 x 7 ) + ( 12 x 5 ) = 77 + 60 = 137
z = 139
t = 137
Örnek - 5 :
z = ?
t = ?
m = 7
n = 8
a = 9
b = 11
z = ( m x a ) + ( n x b ) = ( 7 x 9 ) + ( 8 x 11 ) = 63 + 88 = 151
t = ( m x b ) + ( n x a ) = ( 7 x 11 ) + ( 8 x 9 ) = 77 + 82 = 149
z = 151
t = 149
|
m,n
|
a,b
|
z,t
|
|
1 , 2
|
1 , 3
|
5 - 7
|
|
1,2
|
3 , 5
|
11- 13
|
|
1,2
|
5 , 7
|
17 - 19
|
|
1,2
|
9 , 11
|
29 - 31
|
|
1,2
|
13 , 15
|
41 - 43
|
|
1,2
|
19 , 21
|
59 - 61
|
|
1,2
|
23 , 25
|
71 - 73
|
|
1,2
|
33 , 35
|
101 - 103
|
|
1,2
|
35 , 37
|
107 - 109
|
|
1,2
|
45 , 47
|
137 - 139
|
|
1,2
|
49 , 51
|
149 - 151
|
|
1 , 2
|
...
|
Tüm ikiz asallar
|
|
...
|
...
|
...
|
|
2,3
|
5 , 7
|
29 - 31
|
|
2 , 3
|
11 , 13
|
59 - 61
|
|
3 , 4
|
5 , 7
|
41 - 43
|
|
103 , 104
|
3 , 5
|
827 - 829
|
|
1 , 2
|
293 , 295
|
881 - 883
|
İspat :
z ve t sayılarının toplamıyla bir f sayısı tanımlayalım . f = z + t
Örnek - 6 :
m = 1
n = 2
a = 3
b = 5
z = 11
t = 13
f = 24
f sayısını çarpanlara ayıralım
f = 24 = 1 x 24
f = 24 = 2 x 12
f = 24 = 3 x 8
f = 24 = 4 x 6
f sayısının çarpanlarını { ( 1 , 24 ) , ( 2 , 12 ) , ( 3 , 8 ) , ( 4 , 6 ) } şekline yazabiliriz
f sayısın çarpanlarından her iki çarpanında 1 sayısından büyük ve çarpanlardan biri tek sayı olan
çarpanları alalım { (3 , 8 ) }
burada amaç çarpanlardan birini ardışık iki sayının toplamı şeklinde ve diğer çarpanı
ardışık iki tek sayının toplamı şekline yazabilmetir .ardışık iki sayının toplamı d
aima bir tek sayıyı verdiğinden , ardışık iki tek sayının toplamıda daima bir çift sayıyı
verdiğinden bir tek ve bir çift sayıdan oluşan çarpan çiftlerini almaktayız .
3 sayısını ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazalım 3 = 1 + 2
8 sayısını ardışık iki tek sayının toplamı şeklinde yazalım 8 = 3 + 5
f=24
f= 3 x 8
f= ( 1 + 2 ) x ( 3 + 5 )
f= ( 1 x 3 ) + ( 1 x 5 ) + ( 2 x 3 ) + ( 2 x 5)
f = ( 1 x 3 ) + ( 2 x 5 ) + ( 1 x 5 ) + ( 2 x 3)
bu noktada z = ( 1 x 5 ) + ( 2 x 3 ) ve t = ( 1 x 3 ) + ( 2 x 5 ) eşitliklerini hatırlayalım
f = z + t = 11 + 13 = 24
Örnek - 7 :
m = 1
n = 2
a = 9
b = 11
z = 29
t = 31
f = 60
f sayısını çarpanlara ayıralım
f = 60 = 1 x 60
f = 60 = 2 x 30
f = 60 = 3 x 20
f = 60 = 4 x 15
f = 60 = 5 x 12
f = 60 = 6 x 10
f sayısının çarpanlarını { ( 1 , 60 ) , (2 , 30 ) , ( 3 , 20 ) , ( 4, 15 ) , ( 5 , 12 ) , ( 6 , 10 ) } şekline yazabiliriz
f sayısın çarpanlarından her iki çarpanında 1 sayısından büyük ve çarpanlardan biri t
ek sayı olan çarpanları alalım { (3 , 20 ) , ( 4 , 15 ) , (5 , 12 ) }
burada amaç çarpanlardan birini ardışık iki sayının toplamı şeklinde ve diğer çarpanı ardışık
iki tek sayının toplamı şekline yazabilmetir .ardışık iki sayının toplamı daima bir tek sayıyı verdiğinden ,
ardışık iki tek sayının toplamıda daima bir çift sayıyı verdiğinden bir tek ve bir çift sayıdan oluşan çarpan
çiftlerini almaktayız .
{ ( 3 , 20 ) , ( 4 , 15 ) , ( 5 , 12 ) }
Sayı çiftlerini tek tek ele alalım
f = 3 x 20 için
m = 1
n = 2
a = 9
b = 11
3 sayısını 3= 1 + 2 şeklinde ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazalım
20 sayısını 20 = 9 + 11 şeklinde ardışık iki tek sayının toplamı şeklinde yazalım .
f = 3 x 20
f = ( 1 + 2 ) x ( 9 + 11 )
f = ( 1 x 9 ) + ( 1 x 11 ) + ( 2 x 9 ) + ( 2 x 11 )
f = ( 1 x 11 ) + ( 2 x 9 ) + ( 1 x 9 ) + ( 2 x 11 )
z = ( 1 x 11 ) + ( 2 x 9 )
t = ( 1 x 9 ) + ( 2 x 11 )
f = 29 + 31
f = 60
( 3 ,20 ) , ( 4 , 15 ) , ( 5 , 12 ) } ‘ den ( 4 , 15 ) ‘ i inceleyelim .
f = 4 x 15
a = 1
b = 3
m = 7
n = 8
4 sayısını 4 = 1 + 3 , ardışık iki tek sayının toplamı şeklinde yazalım
15 sayısını 15 = 7 + 8 , ardışık iki sayının toplamı şekline yazalım
f = 60
f = 4 x 15
f = ( 1 + 3 ) x ( 7 + 8 )
f = ( 1 x 7 ) + ( 1 x 8 ) + ( 3 x 7 ) + ( 3 x 8 )
f = ( 1 x 8 ) + ( 3 x7 ) + ( 1 x 7 ) + (3 x 8 )
z = ( 1 x 8 ) + ( 3 x 7 )
t = ( 1 x 7 ) + ( 3 x 8 )
f = z + t = 29 + 31
f = 60
{ ( 3 ,20 ) , ( 4 , 15 ) , ( 5 , 12 ) } ‘ den ( 5 , 12 ) ‘ i inceleyelim .
f = 5 x 12
a = 5
b = 7
m = 2
n = 3
12 sayısını 4 = 5 + 7 , ardışık iki tek sayının toplamı şeklinde yazalım
5 sayısını 5 = 2 + 3 , ardışık iki sayının toplamı şekline yazalım
f = 60
f = 5 x 12
f = ( 2 + 3 ) x ( 5 + 7 )
f = ( 2 x 5 ) + ( 2 x 7 ) + ( 3 x 5 ) + ( 3 x 7 )
f = ( 2 x 7 ) + ( 3 x 5 ) + ( 2 x 5 ) + ( 3 x7 )
z = ( 2 x 7 ) + ( 3 x 5 ) ve t = ( 2 x 5 ) +( 3 x 7 )
f = z + t = 29 + 31 = 60
f = 60
z , t sayılarını ikiz asalları tanımlamak için kullandık . elde ettiğimiz en küçük ikiz asal ( 5 , 7 )
olduğuna göre ve 3 e bölünen tek asal sayı 3 olduğuna göre ; 3 ten büyük hiçbir asal sayı 3 e tam olarak
bölünememektedir . bu durumda ikiz asalı tanımlayan sayı çiftleri yani z ve t 3 e tam olarak bölünemez .
z ve t 3 e bölünemediği gibi 3 e bölümünden 1 ve 2 kalanları elde edilir . çünkü z ve t sayıları 3 e bölünebilen
bir sayının bir küçüğü ve bir büyüğüdür . ve z ve t 3 e bölümden 1 ve 2 kalanını verirler . kalanlar toplamı
1 ve 2 , 1 + 2 = 3 olduğundan , z ve toplamıyla elde edilen f sayısı 3 e bölünür . iki tek sayının toplamı çift sayı
olduğundan z ve t de tek sayı olduğundan ( ( 2 den büyük her asal sayı tektir ) ve (elde ettiğimiz en küçük
ikiz asal (5, 7 ) dir yani kural dışı olan ( 2 , 3) ü kapsam dışı alıyoruz ) z ve t toplamı yani f çift bir sayıdır
f sayısı 3 e bölünebilen çift bir tamsayıdır
f sayısı 6 ya da tam bölünür
z1 ve t1 ,, z2 ve t2 , z3 ve t3 , …. Zk ve tk şeklinde ikiz asllarla elde edilen
f1, f2, f3, … fk şeklindeki tüm f sayıları 3 e bölünebilen çift sayılardır
f sayısı çift sayı olduğundan ve 3 ve/veya başka bir tek sayının bir sayıyla çarpımıyla elde edildiğinden ,
iki tek sayinin çarpımı çift sayı olmadığından ; 3 ve/veya bir tek sayinin bir çift sayıyla ( a + b ) çarpımı
f sayısını verir .
f1, f2, f3, … fk şeklindeki tüm f sayıları 3 ve bir çift sayının çarpımıdır .
Bu durumda tüm ikiz asal toplamlarının 3 e bölündüğünü kabul ederiz .
ve bu koşulla tüm ikiz asalların bu yöntemle elde edildiğini ispatlamış oluruz.
f1, f2, f3, … fk şeklindeki tüm f sayılarının bazıları 1 ve 3 ten başka bir tek sayının bir çift sayıyla çarpımıyla
elde edilir
bu durumda tüm ikiz asalların bu yöntemle bir veya birden fazla şekilde elde edildiğini ispatlamış oluruz .
Sonuç :
Her ikiz asalın
z = ( m x a ) + ( n x b )
t = ( m x b ) + ( n x a )
Şeklinde en az bir tanımlaması vardır .
| Düzenleme : | : | Murat K. |
| Oluşturulma : | : | 25/05/2020 |
| Son Güncelleme : | : | 25/05/2020 |