Goldbach Sanısının Çift Sayılarla ilgili kısmı ( yöntem - 1)
Her çift sayı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilirmi ?

n = 0 mod 6 sayılar

.n = 0 mod 6 sayılar 6 x k şeklinde ifade edilir ve bu sayılar 6 nın tam katlarıdır .bu sayıları iki asal sayının toplamı şeklinde ifade etmek istersek bunu yapmanın iki yolu olduğunu kolayca görürüz .

iki asal sayıyı toplayarak 6 x k sayı elde etmenin ilk yolu 3 sayısıyla 3 sayısını toplamaktır . bu yol sadece 6 sayısı için geçerlidir . 6 x k sayıları elde etmenin ikinci yolu 6 x k + 1 sayı grubundan herhangi bir sayıyla 6 x k + 5 sayı grubundan herhangi bir sayıyı toplamaktır .

a = 6 x k + 1 , b = 6 x k + 5 , c = 6 x k iken her a , her b ile toplandığında sonuç daima c dir . yani her a + b = c dir

eğer her c = a + b dir diyebilirsek sanıyı ispatlamış oluruz

      6 = 3 + 3
     12 = 5 + 7
     18 = 11 + 7 = 13 + 5
     24 = 11 + 13 = 19 + 5 = 17 + 7
     30= 19 + 11 = 17 + 13 = 23 + 7

Şeklinde bir ispat metodu olmakla birlikte bu yolla ispatı sonsuza dek örneklemek imkansızdır .

n= 0 mod 6 sayısı için a , b asal olmak kaydıyla .n= 6 x k = a + b dir . bu ifadeyi k = k4 + k5 şeklinde yazabiliriz c , d , e , f asal olmak koşuluyla 6 x k4= c + d ve 6 x k5 = e + f denklemlerini yazabiliriz .

     n = 6 x k
     k = k4 + k5
     k4 = c + d
     k5 = e + f
     n = 6 x k = a + b
     n = c + d + e + f

ifadesine ulaşırız .

c , d , e , f asal sayılar olduğundan
     c + d + e üç asal sayının toplamıdır ve f de asal sayıdır . n bu iki sayının toplamı olduğundan ifade doğrudur . üç sayının toplamı asal sayı değilse

     c + d + f üç asal sayının toplamıdır ve e sayısı da asal sayıdır . n bu iki sayının toplamı olduğundan ifade doğrudur . üç sayının toplamı asal sayı değilse

     c + e + f üç asal sayının toplamıdır ve d sayısı da asal sayıdır . n bu iki sayının toplamı olduğundan ifade doğrudur . üç sayının toplamı asal sayı değilse

     d + e + f üç asal sayının toplamıdır ve c sayısı da asal sayıdır . n bu iki sayının toplamı olduğundan ifade doğrudur . üç sayının toplamı asal sayı değilse

     c , d , e , f asal sayılar olduğundan bu sayılar üç asal sayının toplamıdır . c = c1 + c2 + c3 ve d = d1 + d2 + d3 ve e = e1 + e2 + e3 ve f = f1 + f2 + f3

     n= c1 + c2 + c3 + d + e + f veya .n = d1 + d2 + d3 + c + e + f veya n= e1 + e2 + e3 + c + d + f n = f1 + f2 + f3 + c + d + e ifadelerinden {( c1 + c2 + d ve c3 + e + f)} gruplamalarının asal sayı üretip üretmediğine bakılır .bu yöntem tüm ihtimaller için tekrarlanır . eğer üretmemişse

     c1 ,c2,c3,d1…. asal sayılardır ve c1 = c1a + c1b + c1c ve c2 = c2a + c2b + c2c ve c3 = c3a +c3b + c3c ve d1 = d1a + d1b + d1c şeklinde ki sayılar üçer sayı toplamı asal sayı vercek şekilde n=a+b eşitliği elde edilir ve ifade doğrudur . elde edilememişse

     n= 6 x k ve k = k1 + k2 + k3 +…+ kn ifadesinde her k iki asal sayının toplamıdır ve k = k1 + k2 + k3 veya k = k1 + k2 + k3 + k4 + … şeklindeki ifadelerle n denklemi tekrar yazılır ve bu n denklemi 4 asal sayınn toplamı şeklinde yazılmışsa 3 ve 1 asal sayı gruplaması yapılır . 3 asal sayının toplamıyla asal sayı elde etmeye çalışılır .bu mümkün olmadğında 3 tane k sabiti 6 asal sayı belirtir ve 6 sayı üçerli gruplamayla iki asal sayı üretilmeye çalışılır 4 k sabiti 8 asal sayı demektir ve 8 asal sayı 3,3,2 asalları şeklinde gruplanır 3 erli gruplardan asal sayı üretmeye çalışılır ve 1,1,2 gruplaması elde edilir 1,2 gruplamalarıyla asal sayı elde edilmeye çalışılır . tüm k sabitleriyle sonuç alınamamışsa her asal sayı üç asal sayının toplamı şeklinde yazılarak yöntem tekrarlanır

Aşağıdaki örneklere geçmeden önce

6 = 3 + 3
12 = 5 + 7
18 = 11 + 7 = 13 + 5
Denklemlerini yazalım

Örnek 1 :

24 çift sayısı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir mi ?

24 = 6 x 4 = 6 x (2 + 2) = 2x 6 + 2 x 6 = 12 + 12
12 = 5 + 7
24 = 12 + 12 = 5 + 7 + 5 + 7
Sayı gruplamamız {(5,5,7),(7)} ve {(5+5+7),(7)} ve {(17),(7)}
Sayı gruplamamız {(5,7,7),(5)} ve {(5+7+7),(5)} ve {(19),(5)}
24 = 17+7
24 = 19+5
Olduğu için 24 çift sayısı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılır .

Örnek 2 :

30 çift sayısı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir mi ?
30 = 6 x 5 = 6 x ( 2 + 3 ) = 6 x 2 + 6 x 3 = 12 + 18
30 = 12 + 18 = ( 5 + 7 ) + ( 5 + 13 )
Sayı gruplamamız {(5,5,7),(13)} ve {(5+5+7),(13)} ve {(17),(13)}
Sayı gruplamamız {(5,5,13),(7)} ve {(5+5+13),(7)} ve {(23),(7)}
Sayı gruplamamız {(5,13,7),(5)} ve {(5+13+7),(5)} ve {(25),(5)}
30 = 12 + 18 = ( 5 + 7 ) + ( 7 + 11 )
Sayı gruplamamız {(5,7,7),(11)} ve {(5+7+7),(11)} ve {(19),(11)}
Sayı gruplamamız {(5,7,11),(7)} ve {(5+7+11),(7)} ve {(23),(7)}
Sayı gruplamamız {(7,7,11),(5)} ve {(7+7+11),(5)} ve {(25),(5)}
30 = 19 + 11 = 23 + 7 = 17 + 13
Olduğu için 30 çift sayısı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir .

Örnek 3 :

36 çift sayısı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir mi ?
36 = 6 x 6 = 6 x ( 3 + 3 ) = 6 x ( 4 + 2 ) = 6 x ( 2 + 2 + 2 )
36 = 18 + 18 = 12 + 24 = 12 + 12 + 12
12 = 5 + 7
18 = 7 + 11 = 13 + 5
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 13 + 11
36 = 18 + 18 = 7 + 11 + 7 + 11
Sayı gruplamamız {(7,11,11),(7)} ve {(7+11+11),(7)} ve {(29),(7)}
36 = 18 + 18 = 7 + 11 + 5 + 13
Sayı gruplamamız {(5,7,11),(13)} ve {(5+7+11),(13)} ve {(23),(13)}
Sayı gruplamamız {(5,11,13),(7)} ve {(5+11+13),(7)} ve {(29),(7)}
Sayı gruplamamız {(7,11,13),(5)} ve {(7+11+13),(5)} ve {(31),(5)}
36 = 18 + 18 = 5 + 13 + 5 + 13
Sayı gruplamamız {(5,5,13),(13)} ve {(5+5+13),(13)} ve {(23),(13)} Sayı gruplamamız {(5,13,13),(5)} ve {(5+13+13),(5)} ve {(31),(5)} 36 = 24 + 12 = 11 + 13 + 5 + 7 Sayı gruplamamız {(5,7,11),(13)} ve {(5+7+11),(13)} ve {(23),(13)}
Sayı gruplamamız {(5,11,13),(7)} ve {(5+11+13),(7)} ve {(29),(7)}
Sayı gruplamamız {(7,11,13),(5)} ve {(7+11+13),(5)} ve {(31),(5)}
36 = 24 + 12 = 17 + 7 + 5 + 7
Sayı gruplamamız {(5,7,17),(7)} ve {(5+7+17),(7)} ve {(29),(7)}
Sayı gruplamamız {(7,7,17),(5)} ve {(7+7+17),(5)} ve {(31),(5)}
Sayı gruplamamız {(5,7,7),(17)} ve {(5+7+7),(17)} ve {(19),(17)}
36 = 24 + 12 = 19 + 5 + 5 + 7
Sayı gruplamamız {(5,5,7),(19)} ve {(5+5+7),(19)} ve {(17),(19)}
Sayı gruplamamız {(5,5,19),(7)} ve {(5+5+19),(7)} ve {(29),(7)}
Sayı gruplamamız {(5,7,19),(5)} ve {(5+7+19),(5)} ve {(31),(5)}
36 = 12 + 12 + 12 = 5 + 7 + 5 + 7 + 5 + 7
Sayı gruplamamız {(5,5,7),(7,7,5)} ve {(5+5+7),(7+7+5)} ve {(17),(19)}
36 = 29 + 7 = 31 + 5 = 23 + 13 = 17 + 19
Olduğu için 36 iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen bir çift sayıdır .

asal sayı üretmeyen saytı gruplarına yer vermmeye çalışılmıştır .

Burada önemli olan noktalardan ilki 6 nın katlarını ispatlayıp bir sonraki altının katını ispata gittiğimizde . ispatlamak istediğimiz sayıyı daha önceden ispatladığımız 6 nın katları şeklinde yazıyoruz .

Bir diğer önemli nokta 6 nın tüm katlarını ispatladıkça 6 x 1 den büyük her kat için 1 tane 1 mod 6 ve 1 tane 5 mod 6 sayının toplamına ulaşıyoruz . ispatlamak istediğimiz 6 xk sayısını 4 asal sayının toplamı şeklinde yazdığımızda her türlü gruplama işlemi 2 tane 1 mod 6 ve 2 tane 5 mod 6 sayıyla yapılıyor ve her ihtimalde grup elemanlarını toplayınca 1 tane 1 mod 6 bir tanede 5 mod 6 sayıya ulaşıyoruz . 6 = 3 + 3 ü işleme dahil etmediğimizde sonsuz sayıda asal sayı için bile olsa sonuçta bir tane 1 mod 6 ve bir tane 5 mod 6 sayıya ulaşıyoruz .

1 mod 6 + 5 mod 6 = 0 mod 6
1 mod 6 + 5 mod 6 + 1 mod 6= 1 mod 6
1 mod 6 + 5 mod 6 + 5 mod 6 = 5 mod 6
1 mod 6 + 5 mod 6 + 1 mod 6 + 5 mod 6 = 0 mod 6
1 mod 6 + 5 mod 6 + 1 mod 6 + 5 mod 6 + 1 mod 6= 1 mod 6
1 mod 6 + 5 mod 6 + 1 mod 6 + 5 mod 6 + 5 mod 6= 5 mod 6

Eğer topladığımız sayılar çift sayıda ise 5 mod 5 ve 1 mod 6 sayılar eşit sayıda olduğu için 0 mod 6 elde ederiz
Eğer topladığımız ayılar tek sayıda ve 1 mod 6 sayıların sayısı 1 fazla ise 1 mod 6 sayı elde ederiz
Eğer topladığımız sayılar tek sayıda ve 5 mod 6 sayıların sayısı 1 fazla ise 5 mod sayı elde ederiz

n = 2 mod 6 sayılar

n=2 mod 6 sayı grubu {8,14,20,26,32,38,…} şeklinde devam eden çift sayılar kümesidir .

     Bu sayılar 1 mod 6 sayıların kendileriyle ya da bir başka 1 mod 6 sayıyla toplanmasıyla bulunur .

     bu sayılar 5 mod 6 bir sayının 3 ile toplanmasıyla da elde edilir .

8 = 5 + 3 ( 5 mod 6 sayı ve 3 asalının toplamı )
14 = 7 + 7 ( 1 mod 6 asalının kendisiyle toplamı )
20 = 13 + 7 ( 1 mod asalı ve 1 mod asalı toplamı )

n= 2 mod 6 sayısı için a , b , c , d asal sayılar olmak üzere ve a ve b 1 mod 6 asal sayıları olmak üzere
n = 2 mod 6 = 6 x k + 2 = a + b
k > k1 > k2 ve k > k1 > k3 … ve k1 = k2 + k3 + ….
n= 6 x k1 + a = 6 x k2 + 6 x k3 +..+ b
Şeklinde yazabiliriz .
Yani 1 mod 6 sayımızı (n) 6 x k + b şeklinde daha küçük 1 mod 6 asalı ve 6 nın katları şeklinde yazabiliriz . bunu yapmaktaki amacımız daha önceden iki asal sayının toplamı şeklinde yazdığımız 6 x k sayılarının mimariye dahil etmek . eğer gerekirse 6 x k sayısını daha küçük k sabitlerine parçalayabiliriz istersek b sayısını c + d şeklinde iki asalın toplamı şeklinde yazabiliriz .burdan sonraki işlem 0 mod 6 sayılardaki yöntemle aynıdır .

8 = 5 + 3

14 = 6 x 1 + 8 = 3 + 3 + 3 + 5 =( 3 + 3 + 5 )+ 4 = 11 + 3 = 14
20 = 8 + 12 = 3 + 5 + 5 + 7 =( 3 + 5 + 5 ) + 7 = 13 + 7 = 20
20 = 8 + 12 = 3 + 5 + 5 + 7 = ( 5 + 5 + 7 ) + 3 = 17 + 3 = 20
20 = 6 + 14 = 3 + 3 + 7 + 7 = ( 3 + 3 + 7 ) + 7 = 13 + 7 = 20
20 = 6 + 14 = 3 + 3 + 7 + 7 = ( 3 + 7 + 7 ) + 7 = 17 + 3 = 20
20 = 6 + 14 = 3 + 3 + 7 + 7 = ( 3 + 3 + 7 ) + 7 = 13 + 7 = 20
20 = 6 + 14 = 3 + 3 + 11 + 3 = ( 3 + 3 + 11 ) + 3 = 17 + 3
26 = 8 + 18 = 3 + 5 + 11 + 7 = ( 5 + 7 + 11 ) + 3 = 23 + 3 = 26
26 = 8 + 18 = 3 + 5 + 11 + 7 = ( 3 + 5 + 11 ) + 7 = 19 + 7 = 26
26 = 8 + 18 = 3 + 5 + 5 + 13 = ( 5 + 5 + 13 ) + 3 = 23 + 3 = 26
26 = 8 + 18 = 3 + 5 + 5 + 13 = ( 3 + 5 + 5 ) + 13 = 13 + 13 = 26
26 = 8 + 6 + 12 = 8 + 6 + 6 + 6

n = 4 mod 6 sayılar

n=4 mod 6 sayı grubu {10,16,22,28,34,40,46,…} şeklinde devam eden pozitif çift tam sayılar kümesidir .

Bu sayılar 5 mod 6 sayıların kendileriyle ya da bir başka 5 mod 6 sayıyla toplanmasıyla bulunur .

Bu sayılar 1 mod 6 bir sayının 3 ile toplanmasıyla da elde edilir .

10 = 5 + 5 ( 5 mod 6 sayının kendisiyle toplamı )
10 = 3 + 7 ( 1 mod 6 sayının 3 ile toplamı)
16 = 5 + 11 (iki tane 5 mod 6 sayının birbiriyle toplamı )

n = 4 mod 6 sayısı için a , b , c , d asal sayılar olmak üzere ve a ve b 5 mod 6 asal sayıları olmak üzere
n = 4 mod 6 = 6 x k + 4 = a + b
k > k1 > k2 ve k > k1 > k3 … ve k1 = k2 + k3 +….
n = 6 x k1 + a = 6 x k2 + 6 x k3 +..+ b
Şeklinde yazabiliriz .

Yani 5 mod 6 sayımızı (n) 6 x k + b şeklinde daha küçük 5 mod 6 asalı ve 6 nın katları şeklinde yazabiliriz . bunu yapmaktaki amacımız daha önceden iki asal sayının toplamı şeklinde yazdığımız 6 x k sayılarının mimariye dahil etmek . eğer gerekirse 6 xk sayısını daha küçük k sabitlerine parçalayabiliriz istersek b sayısını c + d şeklinde iki asalın toplamı şeklinde yazabiliriz .burdan sonraki işlemimiz 0 mod 6 sayılardaki yöntemle aynıdır .

10 = 5 + 5
10 = 3 + 7
16 = 5 + 11
16 = 6 + 10 = 3 + 3 + 5 + 5 = ( 3 + 3 + 5 ) + 5 = 11 + 5 = 16
16 = 6 + 10 = 3 + 3 + 5 + 5 = ( 3 + 5 + 5 ) + 3 = 13 + 3 = 16
16 = 6 + 10 = 3 + 3 + 3 + 7 = ( 3 + 3 + 7 ) + 3 = 13 + 3 = 16
22 = 12 + 10 = 5 + 7 + 5 + 5 = ( 5 + 5 + 7 ) + 5 = 17 + 5 = 22
22 = 12 + 10 = 5 + 7 + 3 + 7 = ( 3 + 7 + 7 ) + 5 = 17 + 5 = 22
22 = 12 + 10 = 5 + 7 + 3 + 7 = ( 5 + 7 + 7 ) + 3 = 19 + 3 = 22
22 = 6 + 6 + 10 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 7 = ( 3 + 3 + 7 ) + 3 + 3 + 3 = 13 + 3 + 3 + 3 = ( 13 + 3 + 3 ) + 3 = 19 + 3 = 22
22 = 6 + 6 + 10 = 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 = ( 3 + 3 + 5 ) + ( 3 + 3 + 5 ) = 11 + 11 = 22
22 = 6 + 6 + 10 = 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 = ( 5 + 5 + 3 ) + 3 + 3 + 3 = ( 13 + 3 + 3 ) + 3 = 19 + 3 = 22

Sonuç :

Bu yöntemle Sonsuza dek tüm çift sayılar iki asal sayının toplamıdır ifadesini tam olarak doğrulayamıyoruz . ancak sayı büyüdükçü doğrulayan eşitliklerin sayısı da önemli ölçüde artmaktadır .

Düzenleme :	:	Murat K.
Oluşturulma :	:	26/05/2020
Son Güncelleme :	:	26/05/2020